Bonjour.

Finalement, j'ai trouvé la solution :
Dans l'application, il y a un endroit où il faut désactiver "autoriser le mode chaud".
Du coup, cela fonctionne maintenant et j'ai bien le menu de refroidissement qui apparaît.

Cependant, la notice ne parle pas de ma climatisation car elle n'existait pas à l'époque de la sortie de ce module wifi et Mitsubishi ne met pas à jour ce genre de documentation.
Le problème est donc résolu.